■概要

　外積（がいせき）は、２つのベクトルから別のベクトルを生成する基礎演算の一つ。極めて重要な演算である。外積の事を別名でベクトル積、クロス積、または単にクロスと呼ぶ場合もある。

　ベクトルA、BからベクトルCを生成する外積の演算作業は

　　「A、Bの外積をとる」

などと言い、これを数式では

　　　C = A×B

と表現する。なお、生成されたベクトルC（スカラーで無い事に注意！）の事は

　　「A、Bの外積」

と呼ぶ。無論 (A×B) の事も同じ様に呼ぶ。

■外積の性質

　　　C = A×B
とする。このとき、

・CはA、Bに垂直（C⊥A、C⊥B） 　　　・Cの向きは、AからBへ右ねじを回すと進む向き 　　　・|C| = |A||B|sinθ（θはA、Bのなす角）

が成り立つ。
　なお、|C| つまり |A||B|sinθの値は、AとBによって張られる平行四辺形（AとBを非並行な２辺にもつ並行四辺形）の面積に等しい。（図１）

【図１】 　　　　▲外積の性質 （3D解説図）

■演算規則

A、B、Cをそれぞれ三次元のベクトル

　　　A = ( A_x , A_y , A_z )
　　　B = ( B_x , B_y , B_z )
　　　C = ( C_x , C_y , C_z )

とする。このとき、

　　　C = A×B

におけるCは以下の様に定義される。

Cx = AyBz - AzBy 　　Cy = AzBx - AxBz 　　Cz = AxBy - AyBx

別の表記では、

C = (AyBz - AzBy)ex + (AzBx - AxBz)ey + (AxBy - AyBx)ez C = ( AyBz - AzBy , AzBx - AxBz , AxBy - AyBx ) 又は C = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k （i、j、k はx、y、z方向の単位ベクトル）

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　※上ではベクトル成分の添え字に一般的なx、y、zを用いたが、ベクトルの各成分や基底ベクトルの添え字に数字を用いる場合も多々ある。例えば、座標系の基底ベクトルをそれぞれ e₁、e₂、e₃ と名づけ、その座標系におけるベクトルAの各成分をそれぞれ A₁、A₂、A₃ と表記するなら、Cの定義は以下の様に記述されることになる。

C1 = A2B3 - A3B2 　　C2 = A3B1 - A1B3 　　C3 = A1B2 - A2B1

もしくは、

C = (A2B3 - A3B2)e1 + (A3B1 - A1B3)e2 + (A1B2 - A2B1)e3