■概要

ξをスカラー場として

　　

の演算を表す演算子「Δ」の事をラプラシアン、又はラプラス演算子と呼ぶ。

■三次元直行座標におけるラプラシアン

　三次元直行座標（デカルト座標）においては

　　

である。例えば、x, y, zのスカラー関数ξにラプラシアンを作用させるなら

　　

となる。証明はそのまんまであるから省く。

　直行座標系でのラプラシアンはこのような単純な形であるが、一般に他の型の座標系におけるラプラシアンはより複雑な形をしている。

■ラプラシアンとナブラ

　三次元直行座標のナブラ「∇」をベクトルと見立て、自身との内積をとらせると、

　　

が成り立つことがわかる。その為か、ラプラシアンを右辺のように∇²で書く場合も見受けられる。
　演算子の自乗といういささか奇妙な記法ではあるが、ラプラシアンの定義をど忘れした際には、上の表記から即座に導き出せるので便利である。

<※但し、上の関係は直交座標系（デカルト座標系）のみで成り立つものである。>